【解】 1. 将行星轨道径矢记为 \(\boldsymbol{r}\)，行星受以 \(r\) 为半径的球形空间尘埃的附加引力为
$$ - G\frac{M'm}{r^3}\boldsymbol{r}, \quad M' = \frac{4}{3}\pi r^3\rho $$
于是行星的径向运动动力学方程为
$$ - G\frac{M'm}{r^2} - mkr = m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2), \quad k = \frac{4}{3}\pi G\rho \tag{1} $$
方程(1)可通过
$$ L = m r^2 \dot{\theta} $$
简化成
$$ \ddot{r} = -\frac{GM}{r^2} - kr + \frac{L^2}{m^2 r^3} \tag{2} $$
对于圆轨道，\(r\) 取为常量 \(r_0\)，且 \(\ddot{r} = 0\)，即得 \(r_0\) 满足的方程为
$$ \frac{L^2}{m^2 r_0^3} - \frac{GM}{r_0^2} - kr_0 = 0 \tag{3} $$
2. 若行星轨道稍稍偏离圆轨道，可列出径矢 \(\boldsymbol{r}\) 相对于 \(r_0\) 的小偏离量 \(\delta\) 遵守的动力学微分方程. 将可发现，这是一个简谐振动方程，偏离量 \(\delta\) 随时间做简谐振动，振动频率略大于圆运动角频率，故行星轨道大致是一个椭圆，但椭圆将以较慢的角速度做进动.
将径矢 \(\boldsymbol{r}\) 相对于 \(r_0\) 的小偏移量表述成
$$ r(t) = r_0 + \delta(t), \quad \ddot{r}(t) = \ddot{\delta}(t) $$
代入前述方程(2)，可得
$$ \ddot{\delta} = -\frac{GM}{r_0^2}\left(1 - 2\frac{\delta}{r_0}\right) - k(r_0 + \delta) + \frac{L^2}{m^2r_0^3}\left(1 - 3\frac{\delta}{r_0}\right) \tag{4} $$
利用 \(r_0\) 满足的式(3)，式(4)可简化为
$$ \ddot{\delta} + \left(\frac{L^2}{m^2r_0^4} + 3k\right)\delta = 0 $$
这是简谐振动微分方程，\(\delta\) 随时间 \(t\) 做简谐振动，角频率为
$$ \omega_r = \sqrt{\frac{L^2}{m^2r_0^4} + 3k} $$
注意到 \(r_0\) 圆运动角速度为
$$ \omega_0 = \dot{\theta} = \frac{L}{mr_0^2} $$
可见，当无宇宙尘埃，即当 \(\rho = 0\)，从而 \(k=0\) 时，\(\omega_r = \omega_0\). 这表明行星绕恒星运行一周，\(r\) 的振动也恰好经历一个周期，\(r\) 值从极小到极大，再回到极小，行星的轨道是闭合的椭圆，当存在宇宙尘埃，即当 \(k > 0\) 时，\(\omega_r > \omega_0\)，这表明行星轨道不再是一个闭合的椭圆。 但因 \(k\) 很小，\(\omega_r\) 仅稍大于 \(\omega_0\)，两个 \(r\) 极小值之间经过的时间稍短于一个圆周角经过的时间，于是形成椭圆逆向进动轨迹。 若行星逆时针方向运行，则椭圆进动方向为顺时针。将进动角速度记为 \(\omega_p\)，椭圆长轴进动一周所需时间(即进动周期)为 \(T_p = 2\pi / \omega_p\). 进动一周时，圆运动与径向振动之间的相位差为 \(2\pi\)，即有
$$ (\omega_r - \omega_0)T_p = 2\pi $$
故进动角速度为
$$ \omega_p = \frac{2\pi}{T_p} = \omega_r - \omega_0 = \sqrt{\frac{L^2}{m^2r_0^4} + 3k} - \frac{L}{mr_0^2} $$
展开后，略去高阶小量，得
$$ \omega_p = \frac{3mkr_0^2}{2L} $$
由 \(m\omega_0^2r_0 \approx GMm/r_0^2\) 得
$$ \omega_0 = \sqrt{\frac{GM}{r_0^3}}, \quad L = mr_0^2\omega_0 = m\sqrt{GMr_0} $$
与 \(k\) 表述式一起代入 \(\omega_p\) 表述式，得
$$ \omega_p = 2\pi\rho\sqrt{\frac{Gr_0^3}{M}} $$